Das deutsche QBasic- und FreeBASIC-Forum

[Thomas Antoni]

Hat jemand Lust, für die QB-MonsterFAQ die folgende Frage mit der Lösungs-Herleitung einem kleinen Programmbeispiel zu beantworten?


Wie berechne ich den (kürzesten) Abstand eines Punktes von einer Geraden?

- Der Punkt hat die Koordinaten P1(x1|y1)
- Die Gerade wird durch ihre Gleichung in der Normalform y = mx + t beschrieben
. m = Steigung = Tangens des Steigungswinkels
. t = Y-Achsen-Abschnitt
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[MisterD]

ach nur 2D-Koords.. na dann veruch ichs mal:


der kürzeste Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist senkrecht zur Gerade gemessen. Also bestimmt man zunächst die senkrechte Gerade.
Die Steigung dieser Geraden ist:

[stef]

Hier erst mal die Berechnungs Funktion:

[MisterD]

Hm, welches nehmen wir jetzt?

Meine Erklärung um deinen Sonderfall ergänzt?
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"It is practically impossible to teach good programming to students that have had a prior exposure to BASIC: as potential programmers they are mentally mutilated beyond hope of regeneration."
Edsger W. Dijkstra

[stef]

Was heißt hier ergänzt. Ich habe doch extra das Rechnen angefangen und habe das ganz nur etwas später abgeschickt. Ich würde einfach die beiden Beiträge zu einem kombinieren. Sie sind ja fast identisch.

[MisterD]

ja, sieben Minuten

Ich denk, Thomas schafft das (oder?)
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"It is practically impossible to teach good programming to students that have had a prior exposure to BASIC: as potential programmers they are mentally mutilated beyond hope of regeneration."
Edsger W. Dijkstra

[Thomas Antoni]

Mein Entwurf für die QB-MonsterFAQ lautet wie folgt:

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Frage deutsch
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Wie berechne ich den Abstand eines Punktes von einer Geraden?


Question English
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How to figure out the distance of a point to a straight line?


Antwort
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[ von stef und MisterD im QB-Forum, .2005 ]

Der kürzeste Abstand eines Punktes P1 von einer Geraden g ergibt sich, wenn man
das Lot von dem Punkt P1 auf die Gerade fällt (die "Lot-Gerade" steht senkrecht
auf der geraden g und geht durch den Punkt P1). Das Lot hat auf der Geraden g
den "Fußpunkt" P2. Die Strecke P1-P2 ist dann die kürzeste Verbindung des
Punktes P1 mit der Geraden.

Für die folgenden Betrachtungen werden einige Abkürzungen definiert
- Der Punkt hat die Koordinaten P1(x1|y1)
- Die Gerade g wird durch ihre Gleichung in der Normalform y = mx + t
beschrieben
. m = Steigung = Tangens des Steigungswinkels
. t = Y-Achsen-Abschnitt
- Der Punkt P2(x2|y2) ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt P1 auf die Gerade g


Und hier die Ableitung des Lösungsweges:

Die Ursprungsgerade hat die Gleichung

(1) y = my + t

Zunächst stellen wir die Gleichung für die "Lot-Gerade" auf, die auf der
gegebenen Geraden g senkrecht steht:

(2) y = m2 * x + t2, wobei
(3) m2 = -1 / m gilt

Den y-Achsen Abschnitt t2 dieser Lot-Geraden ermittelt man durch Einsetzen des
Punktes P1(x1|y1) in die Gleichung (2):

(4) t2 = y1 - m2 * x1

Die beiden Geraden schneiden sich im "Lotfußpunkt" P2(x2|y2). P2 ist der
Punkt, auf der ursprünglichen Geraden g, welcher dem Punkt P1 am nächsten liegt
Die Koordinaten x2 und y2 von P2 berechnen wir, indem wir die Gleichungen
und (1) und (2) gleichsetzen:

(5) m * x2 + t = m2 * x2 + t2

hieraus folgt:

(6) x2 = (t2 - t) / (m - m2)
(7) y2 = m * x2 + t

Zur Erinnerung: t2 und m2 hatten wir ja in (3) und (4) ermitelt.

Jetzt muß nur noch der Abstand zwischen den Punkten P1 und P2 mit dem Satz des
Pythagoras berechnet werden:

(8) Abstand = SQR(dx² + dy²)
(9) Abstand = SQR((x2 - x1) ^ 2 + (y2 - y1) ^ 2)

Sonderfall:
Wenn die Steigung m gleich Null ist, dann ist der Abstand anders zu berechnen:
Der gesuchte Abstand ergibt sich in diesem Falle aus der Differenz zwischen y1
und dem y-Achsen-Abschnitt t der Geraden.

Das folgende QBasic-Programm setzt die geschilderte Rechenvorschrift
programmtechnisch um:

[dreael]

Im Rahmen meines MiniCAD-Projekts hatte ich bereits früher einmal dieses Problem gelöst:

http://beilagen.dreael.ch/QB/LOT_ABST.BAS

Wichtig: Der Code entstand ursprünglich auf einem Commodore Amiga mit AmigaBASIC => daher noch ein SCREEN 12 am Anfang ergänzen.

Wichtige Differenz mit den anderen hier dargestellten Lösungen: Die Gerade wird als Linie mit zwei Endpunkten (LINE-Befehl) anstelle einer Gleichung dargestellt.

Wenn man den Abstand immer positiv haben möchte, muss man noch ein ABS() einbauen, ansonsten gibt einem das Vorzeichen an, ob von (x1,y1) aus Richtung (x2,y2) betrachtet sich der Punkt links oder rechts befindet.
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